Make your own free website on Tripod.com

الفصل الأول
الأعداد العقدية والتوابع التحليلية

1-1 مقدمة

يعرف العدد العقدي(التخيلي) بأنه الزوج المرتب من الأعداد الحقيقية ويكتب بالشكل :

يسمى بالقسم الحقيقي للعدد العقدي ويرمز له بـ

ويسمى بالقسم التخيلي للعدد العقدي ويرمز له بـ

ويرمز لمجموعة الأعداد العقدية بـ . حيث أن مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة جزئية منها.

نقول إن العدديين العقديين أنهما متساويان إذا كان:

جمع العدديين العقديين يعرف بالشكل:

أما حاصل ضرب العدديين العقديين فيعرف بالشكل:

أما الشكل الديكارتي للعدد العقدي فهو:

حيث أن ، ونلاحظ أن :

لذلك:

 

من الخواص العامة للعدد العقدي نجد أن:

وبالتالي وتسمى بوحدة الأعداد التخيلية.

مما سبق يمكن استنتاج علاقة الضرب والقسمة بالشكل الديكارتي:

وذلك بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.

1-2 المرافق والقيمة المطلقة للعدد العقدي

مرافق العدد العقدي هو بالتعريف ،

وبسهولة يمكن استنتاج العلاقات التالية:

أما القيمة المطلقة (قياس) العدد العقدي والذي يرمز له بالرمز أو r فهو عدد حقيقي موجب معرف بالعلاقة:

و يمكن الاستنتاج أن:

 

1-3 الشكل القطبي والمعنى الهندسي للعدد العقدي:

يتم تعيين النقطة في المستوي العقدي بمعرفة قيم أو قيمة الزاوية التي يصنعها الشعاع مع الاتجاه الموجب للمحور وبالطول .

 

من الشكل نجد :

لذلك يمكن كتابة العدد العقدي بالشكل:

أي أن الأعداد الحقيقة تمثل بنقاط على محور الفواصل بينما الأعداد العقدية تمثل على محور التراتيب والعدد العقدي يمثل بشعاع بدايته المركز ونهايته النقطة وإذا كان شعاع له نفس طول واتجاه فان :

والأعداد العقدية تجمع وتطرح كما في الأشعة في المستوي .

نسمي الزاوية بمضمون (عمدة) العدد العقدي ويرمز لها بالرمز ونسمي بقياس أو طويلة أو القيمة المطلقة للعدد العقدي ، ونلاحظ أن:

وجميع الزوايا المحققة للعلاقة السابقة هي مضمون العدد العقدي.

نسمي الزاوية في المجال أو في المجال بالتعيين الرئيسي للمضمون، ومن علاقة أولر ، يكتب العدد العقدي بالشكل الأسي:

ويمكن الملاحظة أن :

مثال:

أوجد الشكل القطبي للعدد العقدي

الحل:

1-4 العمليات الرياضية للأعداد العقدية بالشكل القطبي

ليكن:

عندئذٍ:

وكذلك :

ويمكن استنتاج أن:

 

 

وبشكل مشابه نجد أن:

وبصورة عامة فإن:

وعندما يكون نجد:

فإذا كانت عندها نحصل على العلاقة:

والتي تسمى علاقة دوموافر من أجل جميع قيم الصحيحة.

مثال: احسب

الحل:

حسب دوموافر:

وحسب دستور نشر ثنائي الحد:

بالمطابقة نجد: