الفصل الأول
الأعداد العقدية والتوابع التحليلية
1-1
مقدمةيعرف العدد العقدي(التخيلي) بأنه الزوج المرتب من الأعداد الحقيقية ويكتب بالشكل :
يسمى بالقسم الحقيقي للعدد العقدي ويرمز له بـ
ويسمى بالقسم التخيلي للعدد العقدي ويرمز له بـ
ويرمز لمجموعة الأعداد العقدية بـ . حيث أن مجموعة الأعداد الحقيقية مجموعة جزئية منها.
نقول إن العدديين العقديين أنهما متساويان إذا كان:
جمع العدديين العقديين يعرف بالشكل:
أما حاصل ضرب العدديين العقديين فيعرف بالشكل:
أما الشكل الديكارتي للعدد العقدي فهو:
حيث أن ، ونلاحظ أن :
لذلك:
من الخواص العامة للعدد العقدي نجد أن:
وبالتالي وتسمى بوحدة الأعداد التخيلية.
مما سبق يمكن استنتاج علاقة الضرب والقسمة بالشكل الديكارتي:
وذلك بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.
1-2
المرافق والقيمة المطلقة للعدد العقديمرافق العدد العقدي هو بالتعريف ،
وبسهولة يمكن استنتاج العلاقات التالية:
أما القيمة المطلقة (قياس) العدد العقدي والذي يرمز له بالرمز أو r فهو عدد حقيقي موجب معرف بالعلاقة:
و يمكن الاستنتاج أن:
1-3
الشكل القطبي والمعنى الهندسي للعدد العقدي:يتم تعيين النقطة في المستوي العقدي بمعرفة قيم أو قيمة الزاوية التي يصنعها الشعاع مع الاتجاه الموجب للمحور وبالطول .
من الشكل نجد :
لذلك يمكن كتابة العدد العقدي بالشكل:
أي أن الأعداد الحقيقة تمثل بنقاط على محور الفواصل بينما الأعداد العقدية تمثل على محور التراتيب والعدد العقدي يمثل بشعاع بدايته المركز ونهايته النقطة وإذا كان شعاع له نفس طول واتجاه فان :
والأعداد العقدية تجمع وتطرح كما في الأشعة في المستوي .
نسمي الزاوية بمضمون (عمدة) العدد العقدي ويرمز لها بالرمز ونسمي بقياس أو طويلة أو القيمة المطلقة للعدد العقدي ، ونلاحظ أن:
وجميع الزوايا المحققة للعلاقة السابقة هي مضمون العدد العقدي.
نسمي الزاوية في المجال أو في المجال بالتعيين الرئيسي للمضمون، ومن علاقة أولر ، يكتب العدد العقدي بالشكل الأسي:
ويمكن الملاحظة أن :
مثال
:أوجد الشكل القطبي للعدد العقدي
الحل:
1-4
العمليات الرياضية للأعداد العقدية بالشكل القطبيليكن:
عندئذٍ:
وكذلك :
ويمكن استنتاج أن:
وبشكل مشابه نجد أن:
وبصورة عامة فإن:
وعندما يكون نجد:
فإذا كانت عندها نحصل على العلاقة:
والتي تسمى علاقة دوموافر من أجل جميع قيم الصحيحة.
مثال
: احسبالحل:
حسب دوموافر:
وحسب دستور نشر ثنائي الحد:
بالمطابقة نجد: