Make your own free website on Tripod.com

خواص النهايات :

يمكن استنتاج النظريات المتعلقة بخواص النهايات للتوابع العقدية من النظريات المتعلقة بنهايات التوابع الحقيقية :

نظرية:

إذا كان التابع فإن:

 

 

إذا وفقط إذا:

البرهان:

بفرض أن العلاقة (1) محققة ومن تعريف نهاية تابع

وبفرض أن :

بحيث يكون :

أي أن:

ولكن:

ومن أجل:

وحسب نهاية تابع لمتحولين حقيقيين نحصل على العلاقة .

وبالعكس إذا تحققت العلاقة وبفرض يمكن إيجاد بحيث يكون:

ومنه ينتج:

من أجل:

حيث أن ، وهذا يبرهن أن:

1-6-4- الاستمرار

يكون التابع العقدي مستمرا في النقطة إذا كان:

أو بتعبير آخر:

يكون التابع مستمراً في النقطة إذا تحققت الشروط التالية:

1- يمكن إيجاد القيمة (أي أن التابع معرفاً في النقطة )

2- يمكن إيجاد

3-

إن شرط استمرار التابع العقدي في النقطة يكافئ الشرطين:

و يعبران عن استمرار التابعين الحقيقيين في نفس النقطة، و نستنتج أن التابع يكون مستمراً في النقطة إذا وفقط إذا كان كلاً من جزئيه الحقيقي والتخيلي مستمراً في نفس النقطة، أي يمكن تعميم خواص التوابع المستمرة في الساحة الحقيقية على التوابع المستمرة في الساحة العقدية.

1-6-5 اشتقاق التوابع العقدية:

ليكن التابع الوحيد التعيين في المنطقة ولتكن نقطة متحولة في جوار النقطة بحيث يقع هذا الجوار بأكمله في منطقة تعيين التابع وليكن

نقول إن التابع قابل للاشتقاق في النقطة إذا كانت النسبة:

تنتهي إلى نهاية معينة عندما ونرمز لهذه النهاية بـ أي أن:

وهو نفس تعريف مشتق تابع لمتحول حقيقي.

 

مثال:

إن التابع قابل للاشتقاق من أجل جميع قيم ومشتقه لأن:

 

مثال:

إن التابع غير قابل للاشتقاق حيث أنه بوضع:

 

 

وعندما فإن الناتج يساوي أما إذا كان فإن الناتج يساوي أي أن العلاقة السابقة تنتهي إلى عن الطريق تنتهي إلى عن الطريق ولكن من التعريف السابق فإن المشتق يساوي نهاية النسبة السابقة عندما وهي غير موجودة في نقطة.

نظرية:

يكون التابع مستمراً في النقطة إذا كان قابلاً للاشتقاق في هذه النقطة.

البرهان:

ومنه وبالتالي التابع مستمر في النقطة .

نتيجة

إذا كان التابع قابلاً للاشتقاق في النقطة فإنه يلزم أن يكون التابع مستمراً في تلك النقطة ولكن استمرار التابع في النقطة غير كاف لوجود مشتقه في تلك النقطة كما يوضح المثال التالي.

مثال:

ليكن لدينا التابع المستمر من أجل قيم ولنبرهن أنه قابل للاشتقاق فقط في النقطة .

وعندما فإن ومنه :

أما إذا كان لكي يكون التابع قابلا للاشتقاق في تلك النقطة يجب أن يكون للنسبة نهاية معينة ووحيدة عندما وعندما تكون حقيقية فإن:

ومنه :

وعندما تكون تخيلية فإن:

وبما أن فلا يوجد نهاية وحيدة للنسبة والتابع قابل للاشتقاق في النقطة فقط.

1-6-6-تفاضل التابع

نعلم من تعريف المشتق أن:

فإذا كان التابع مستمراً في المنطقة وأيضاً مشتقه مستمراً في تلك المنطقة فإن:

و عندما .

فإذا كتبنا فإن المقدار يسمى بالتعريف بتفاضل التابع ويرمز له بـ ، إذن:

و .

1-6-7 قواعد الاشتقاق

قواعد الاشتقاق في الساحة العقدية مشابهة لما هو عليه في الساحة الحقيقية أي أن: