تعريف:

يكون التابع تحليلياً (هولومورفي) في النقطة إذا كان التابع وحيد التعيين وقابلاً للاشتقاق في النقطة وفي كل جوار لـ.

تعريف:

يكون التابع تحليلياً في المنطقة إذا كان تحليلياً في كل نقاط هذه المنطقة ما عدا عدد محدود منها والتي تسمى بالنقاط الشاذة

تعريف:

يكون التابع صحيحاً (منتظماً) إذا كان تحليلياً في جميع نقاط المستوي العقدي وبما أن كل كثير حدود قابلاً للاشتقاق في أية نقطة من المستوي العقدي ووحيد التعيين أيضاً نستنتج أن كل كثير حدود:

هو تابع صحيح.

إن التابع و مشتقه هو تحليلي في أي نقطة ما عدا و هي نقطة شاذة.

ليكن لدينا التابع العقدي التحليلي:

لنفرض أن التابع معرف ومستمر في جوار نقطة ما وقابلاً للاشتقاق في هذه النقطة عندئذ من التعريف نجد أن:

ليكن .

لنختار الآن الطريق لنجعل أولاً ثم

بوضع نجد أن ومنه:

وحيث أن موجود فإن النهايتين موجودتين أيضاً وهما المشتقات الجزئية لـ و بالنسبة لـ لذلك:

وبشكل مشابه، إذا أخذنا الطريق وبوضع أولاً فإن:

أي أن:

وذلك لأن ، وبما أن موجود بالفرض إذاً:

ومنه نجد أن و ، وهذه الشروط تسمى شروط كوشي وريمان، وبالتالي يمكن الحصول على النظرية التالية:

لكي يكون التابع تحليلياً في المنطقة يلزم ويكفي أن يكون و قابلين للاشتقاق الجزئي من المرتبة الأولى في كل نقطة من ومحققين لشروط كوشي وريمان.

البرهان:

لزوم الشرط:

لنفرض أن التابع تحليلي ولنبرهن أنه يحقق شروط كوشي وريمان بأن التابع تحليلي، بما أن المشتقات الجزئية الأولى لـ و مستمرة في المنطقة فإنه يمكن أن نكتب:

حيث أن و عندما ، وبشكل مشابه نجد أن:

لنحسب الآن :

وبتطبيق شروط كوشي ريمان نجد أن:

ولكن:

وبتقسيم طرفي العلاقة على ، وعندما نحصل على:

ولها نهاية وحيدة في النقطة والتابع تحليلي في المنطقة .

وإذا كان التابع تحليلياً في المنطقة من أجل أي نقطة فإن: