مثال
:برهن أن التابع تحليلي.
الحل:
إن و لذلك:
أي أن التابع تحليلي لأنه يحقق شروط كوشي وريمان و مشتقه هو:
مثال
:ليكن لدينا التابع نلاحظ أن التابع غير تحليلي لأن:
أي أن: .
مثال
:إذا كان وكان تابعاً تحليلياً في المنطقة أوجد شروط كوشي ريمان بالإحداثيات القطبية.
الحل :
بحل هاتين المعادلتين نحصل على:
وهما شروط كوشي وريمان في الإحداثيات القطبية.
كما يمكن البرهان أن مشتق التابع في الإحداثيات القطبية هو:
1-7-2
التوابع التوافقية ومعادلة لابلاس التفاضلية الجزئية:إذا كان التابع ، تحليليا في المنطقة فإن شروط كوشي وريمان محققة من أجل أي نقطة أي أن:
و كانت المشتقات الجزئية الثانية للتوابع موجودة فنحصل على:
بجمع هاتين العلاقتين نجد:
وهذه المعادلة تسمى معادلة لابلاس للتابع وبنفس الطريقة نجد أن
ويسمى التابعان في هذه الحالة بالتوابع التوافقية.
تعريف
:إذا كان التابعان توافقيين في المنطقة وبحيث يكون التابع:
تحليلياً في هذه المنطقة فإن التابع يسمى بمرافق التابع وبالعكس.
مثال
:برهن أن التابع ، توافقي ثم أوجد التابع المرافق له بحيث يكون تحليلياً.
الحل:
وكذلك:
بجمع هاتين العلاقتين نجد أن:
والتابع توافقي، لإيجاد مرافق هذا التابع من شروط كوشي وريمان نجد أن:
بمكاملة هذه العلاقة بالنسبة لـ نجد:
بالاشتقاق بالنسبة لـ نجد:
بالمطابقة نجد أن:
أي أن ، ومنه فإن التابع: