Make your own free website on Tripod.com

مثال:

برهن أن التابع تحليلي.

الحل:

إن و لذلك:

أي أن التابع تحليلي لأنه يحقق شروط كوشي وريمان و مشتقه هو:

مثال:

ليكن لدينا التابع نلاحظ أن التابع غير تحليلي لأن:

أي أن: .

 

مثال:

إذا كان وكان تابعاً تحليلياً في المنطقة أوجد شروط كوشي ريمان بالإحداثيات القطبية.

 

 

الحل :

بحل هاتين المعادلتين نحصل على:

وهما شروط كوشي وريمان في الإحداثيات القطبية.

كما يمكن البرهان أن مشتق التابع في الإحداثيات القطبية هو:

1-7-2 التوابع التوافقية ومعادلة لابلاس التفاضلية الجزئية:

إذا كان التابع ، تحليليا في المنطقة فإن شروط كوشي وريمان محققة من أجل أي نقطة أي أن:

و كانت المشتقات الجزئية الثانية للتوابع موجودة فنحصل على:

بجمع هاتين العلاقتين نجد:

وهذه المعادلة تسمى معادلة لابلاس للتابع وبنفس الطريقة نجد أن

ويسمى التابعان في هذه الحالة بالتوابع التوافقية.

تعريف:

إذا كان التابعان توافقيين في المنطقة وبحيث يكون التابع:

تحليلياً في هذه المنطقة فإن التابع يسمى بمرافق التابع وبالعكس.

مثال:

برهن أن التابع ، توافقي ثم أوجد التابع المرافق له بحيث يكون تحليلياً.

 

الحل:

وكذلك:

بجمع هاتين العلاقتين نجد أن:

والتابع توافقي، لإيجاد مرافق هذا التابع من شروط كوشي وريمان نجد أن:

بمكاملة هذه العلاقة بالنسبة لـ نجد:

بالاشتقاق بالنسبة لـ نجد:

بالمطابقة نجد أن:

أي أن ، ومنه فإن التابع: