مثل هندسياً مجموعة قيم التي تحقق العلاقة

الحل :

ومنه:

بتربيع الطرفين نجد:

وهي معادلة دائرة مركزها ونصف قطرها ، حيث أن المعادلة تكتب بالشكل.

بين فيما إذا كان التابع:

قابلاً للاشتقاق وعين قيم التي لا يكون من أجلها مستمراً.

الحل:

ونلاحظ أن:

والتابع تحليلي من أجل جميع قيم ما عدا ، وقابل للاشتقاق ما عدا

ونلاحظ أنه يمكن كتابة المخرج بالشكل:

وبالتالي:

وهذا التابع غير مستمر من أجل ، والتابع تحليلي من أجل جميع قيم ما عدا ، والتابع قابل للاشتقاق ما عدا ، ونلاحظ أنه يمكن كتابة المخرج بالشكل:

وبالتالي :

وهذا التابع غير مستمر من أجل

أثبت أن التابع تحليلي.

الحل:

إن الشرط القطبي شرطي كوشي وريمان هو:

ومنه:

والتابع تحليلي

برهن أن التابع ، توافقي ثم احسب التابع المرافق الذي يجعل التابع تحليلي.

الحل:

لكي يكون التابع توافقي يجب أن يحقق معادلة لابلاس:

ومنه:

وبما أن معادلة لابلاس محققة إذا التابع u توافقي ، لحساب التابع v نستخدم معادلات كوشي ريمان:

ومن معادلة كوشي ريمان الثانية نجد :

برهن أن مجموع جذور المعادلة:

هو وأن جداء الجذور هو

الحل:

المعادلة يمكن أن تكتب بالشكل:

حيث أن تمثل جذور المعادلة.

المعادلة السابقة تكتب بالشكل:

ومنه :

وكذلك:

إذا كان برهن أن:

الحل:

لنأخذ المعادلة :

والتي حلولها تمثل الجذر النوني للعدد واحد.

مجموع هذه الحلول يساوي الصفر أي أن:

بالمطابقة نحصل على الحل.